Los Politopos

Politopos en la naturaleza

Polígonos

La Calzada del Gigante, en Irlanda

En la naturaleza pueden observarse numerosos polígonos regulares. En el mundo de los minerales, los cristales a menudo tienen caras triangulares, cuadradas o hexagonales. Los cuasicristales hasta pueden tener caras en forma de pentágonos regulares. Otro fascinante ejemplo de polígonos regulares surgidos de procesos geológicos pueden observarse en la Calzada de los Gigantes en Irlanda, o en la Devil's Postpile en California, donde el enfriamiento de la lava ha formado áreas estrechamente acopladas de columnas hexagonales de basalto.

Carambola, una fruta popular del Sureste de Asia.

Los más famosos hexágonos en la naturaleza se encuentran en el reino animal. Los panales de abejas son un arreglo de hexágonos usados para almacenar miel y pólen, así como un lugar seguro para que las larvas crezcan. También existen animales que toman la forma aproximada de polígonos regulares (o al menos tienen la misma simetría); por ejemplo la estrella de mar, y algunas veces otros equinodermos tales como el erizo de mar, muestran la simetría de un pentágono u otros polígonos (tales como el heptágono). De hecho, los equinodermos no muestran simetría radial exacta. Sin embargo, las medusas la presentan, usualmente cuádruple (como el cuadrado) u óctuple.
La simetría radial (y otras simetrías) se observa también ampliamente en el reino vegetal, particularmente entre las flores, y en menor extensión las semillas y las frutas, siendo la formas de simetrí más comunes la pentagonal. Un ejemplo particularmente notorio es el de la carambola (Averrhoa carambola) una fruta semejante al mango originaria del sudeste asiático, cuyo corte seccional tiene forma de una estrella pentagonal.
Moviéndose fuera de la tierra al espacio, los primeros matemáticos realizaron cálculos usando la ley de gravitación de Newton que establece que si dos cuerpos (tales como el Sol y la Tierra) orbitan el uno al otro, existen ciertos puntos en el espacio dónde un cuerpo más pequeño (tal como un asteroide o una estación espacial) permanecerá en una órbita estable, siguiendo por ejemplo a la Tierra pero nunca escapando o "retrasándose". Esos puntos son llamados puntos de Lagrange. El sistema Sol-Tierra tiene cinco puntos Lagrangianos. Los dos más estables están exactamente 60° arriba y detrás de la Tierra en su órbita. Esto es, si trazamos segmentos imaginarios que unan los centros del Sol y de la Tierra y uno de los puntos Lagrangianos estables, formarán un triángulo equilátero. Los astrónomos ya han encontrado asteroides troyanos en esos puntos. Aún se debate la practicidad de instalar una estación espacial en el punto Lagrangiano: aunque podría no necesitar jamás de correcciones de curso, podría tener frecuentemente colisiones con los asteroides que ya están presentes ahí. Existen ya satélites y sondas espaciales en los puntos Lagrangianos menos estables, los que no forman el vértice de un triángulo equilátero con la Tierra y el Sol. Por ahora se han usado sobre todo para la observación solar y la sonda más famos situada en uno de esos puntos ha sido la SOHO.

Poliedros

Los créditos por la primera construcción de sólidos platónicos no corresponden la raza humana. Todos ellos ocurren naturalmente en una forma o en otra, aunque no todas esas ocurrencias son distinguibles a simple vista. El tetraedro, cubo y octaedro aparecen como cristales. No se agotan allí las posibles formas de cristales (Smith, 1982, p 212), de las que hay 48. Ni los icosaedros regulares ni los dodecaedros regulares están entre ellas, aunque una de las formas, el piritoedro (llamado así por el grupo de piritas del cual es típico) tiene doce caras pentagonales, arregladas en el mismo patrón que un dodecaedro regular. Sin embargo, las caras son irregulares, por lo que el piritoedro tampoco es regular.

Circogonia icosahedra, una especia de Radiolaria.

Al inicio del siglo XX, Ernst Haeckel describió (Haeckel, 1904) un número de especies de Radiolaria cuyos esqueletos tienen forma de varios poliedros regulares. Los ejemplos incluyen Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus y Circorrhegma dodecahedra. Las formas de ésas criaturas resultan obvias de sus nombres.
Un descubrimento más reciente es el de un conjunto de nuevos tipos de moléculas de carbono, conocidas como fulerenos (una exposición sencilla de este descubrimiento puede verse en (Curl, 1991)). Aunque C₆₀, el fulereno más fácil de producir, parece más o menos esférico, se supone que algunas de las variedades más grandes (tales como C₂₄₀, C₄₈₀ y C₉₆₀) tienen ligeramente la forma de icosaedros redondeados, de unos pocos nanómetros de diámetro.
Al margen, en tiempos antiguos los pitagóricos creyeron que había una armonía entre los poliedros regulares y las órbitas de los planetas. En el siglo XVII, Johannes Kepler estudió los datos del movimiento planetario compilados por Tycho Brahe y durante una década trató de establecer el ideal pitagoreano encontrando una relación entre los tamaños de los poliedros y los tamaños de las órbitas de los planetas. Su búsqueda fracasó en su objetivo general, pero como consecuencia de estas investigaciones Kepler descubrió que los sólidos que hoy llamamos "de Kepler" son politopos regulares, que las órbitas de los planetas no son círculos, y las leyes del movimiento planetario por las cuales se hizo famoso. En la época de Kepler sólo se conocían cinco planetas además de la Tierra, un número que igualaba el de los sólidos platónicos. El trabajo de Kepler, y los descubrimientos desde ésa época de los planetas Urano, Neptuno y Plutón, han echado por tierra la la idea pitagoreana.

Este artìculo me parecio muy intersante ya que nos de muestra que las figuras geometricas y los poliedros se encuentran constantes en nuestro mundo cotidiano y siempre encontraremos distintas figuros geometricas o algunos poliedros.


Carlos Valdivia Albán